Где находится центр тяжести произвольного треугольника, если
1. равные массы расположены в вершинах треугольника и более нигде
2. масса равномерно распределена по периметру треугольника (однородный проволочный каркас)
3. масса равномерно распределена по площади треугольника (однородная треугольная пластина)

P.S. Надеюсь понятно, что это три разные задачи

(0) три разных, а решение одно ?

(1) ой не факт ))

В третьем случае точно на пересечении медиан

В первом скорее всего там же

Центр масс ИМХО один во всех трех случаях. А вот двигаться (в том числе вращаться вокруг центра массы) они будут по разному.

во втором случае ребра можно заменить точками с массой в середине ребер

(6) Тьфу. Точно. В общем случае центр масс первого и второго треугольника отличаются.

(5)>>А вот двигаться (в том числе вращаться вокруг центра массы) они будут по разному
расшифруй

(8) Первый и второй случай - как минимум потому что центр массы разный. Первый и третий - потому что немного разные силы и моменты будут приложены к вершинам.

(9) я не понимаю все равно, что значит "по разному" именно для 1 и 3 варианта ))
при каких прочих равных условиях?

1 и 3-пересечение медиан. 2 -биссектрис

(11) не совсем биссектрис

11 ну да серединных

http://mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sopromat/geometricheskie_harakteristiki/momenty_inertsii_prosteishih_figur/

это задачка из сопромата..

(7) нет, т.к. цельный треугольник можно представить как много подобных вложенных каркасных с малой толщиной, у каждого центр масс в одной точке, значит и у цельного центр масс в этой точке

(15) чего?

отрежем у исходного целого треугольника какркас, толщиной dx, у полученного опять отрежем какркас толщиной dx и т.д., поскольку центры масс всех каккасов совпадают, то и центр масс цельного треугольника совпадает с центром масс каркаса

(15) Центр масс у второго треугольника один, что ты только что доказал :) Но вот его расположение отличается от центра масс первого.
(10) Еще угловые моменты разные при вращении. Сильно разные для 1 и 3 варианта. Объяснять почему?

при условии равномерного распределения массы

точка пересечения медиан треугольника совпадает с точкой пересечения медиан треугольника, построенного на срединах вершин

центр вписанная окружности не?

(20) ИМХО не совпадает. Какоффы фаши докассательфа?

(22) нарисуй, сам поймешь

(23) Нарисовал. Они разные :) Ни о чем не говорит - нужно доказательство.

2), 3) на пересечении медиан
1) пока хз

(25) тамже по определению r = сумма(Mi*ri)\сумма(Mi)

Для второго случая.

Пусть A1 - середина CB, B1  - AC, C1 - AB. Длины AB=c, AC=b, BC=a. Тогда центры тяжести отрезков AB, AC, CB - C1, B1, A1, соответственно. Центр тяжести отрезка A1B1 лежит в точке L, которая делит отрезок A1B1 в отношении  к a/b, считая от вершины B1. Заметим, что в таком же отношении делит этот отрезок и биссектриса треугольника A1B1C1, угла C1. Следовательно центр тяжести лежит на отрезке C1L. Аналогично можно доказать, что он лежит и на двух других биссектрисах треугольника A1B1C1. Следовательно центр тяжести это точка пересечения биссектрис треугольника A1B1C1.

согласен, там ребра нужно заменять точками с массами, пропорциональными длинам сторон

(0)
1 и 3 - точка пересечения медиан
2 - точка пересечения серединных перпендикуляров

(29) ну как серединные перпендикуляры то? У тупоугольного получается вне фигуры?