стандартный метод
    htmlfile = Новый COMОбъект("htmlfile");
    Текст = htmlfile.ParentWindow.ClipboardData.Getdata("Text");

прекрасно работает в тонком и толстом клиентах, но в браузере (ие и хром) не работает от слова "совсем".

Посоветуйте, чем можно заменить?

Отказываться от своей безопасности
http://blog.perlover.com/2010/06/12/how-copy-clipboard-firefox/#.UwIMa4WREcs

за 20 минут до "домой" думать лениво.
можно пример кода, как это использовать?

В веб-клиенте нет ком-объектов